Математику многие любят за её вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма чётных чисел чётна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ.

Вообще, складывается впечатление, что в школьном курсе математики и других естественных наук господствует идея — о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что возникает представление, что все события предопределены и закономерны.

Реальная жизнь не так однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадёт подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в ближайший час воспользоваться услугами «Яндекса». Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Впрочем, мысль о том, что в окружающем мире много случайного, останется очевидной, но бесплодной, если не научиться измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий.

Решением этих вопросов занимается раздел математики, который называется Теорией вероятностей.

На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс, в ответах, которых на запросы азартных игроков и переписке между собой были введены основные понятия этой теории. (Дело в том, что в игре случай предстаёт в наиболее чистом виде и первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш).

Современная теория вероятностей ушла от азартных игр так же далеко, как геометрия от задач землеустройства. В отрасль математики теория вероятностей превратилась в XX веке. На аксиоматическую основу ее поставил наш великий соотечественник А. Н. Колмогоров.

Знания понятий и методов теории вероятностей и статистики необходимы для организации эффективного конкурентоспособного производства, внедрения новых лекарств и методов лечения в медицине, составления метеопрогнозов и т.д.

Основные понятия теории вероятностей

Испытание – это выполнение определенного комплекса условий, в котором наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной факт.

Случайным событием (просто событием, исходом испытания) называется любой факт, который может произойти или не произойти в результате испытания.

Примеры испытаний: бросание монеты, извлечение карты из колоды, бросание игральной кости. Примеры событий: выпадение герба или цифры, взятие шестёрки пик, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используются заглавные буквы латинского алфавита:  и т.д.

 

Задание1 В чём заключается испытание? Какие возможны события в результате этого испытания?

В закрытом ящике находятся белый, красный, синий шары. Из ящика берут один из шаров и смотрят его цвет (испытание- это изъятие шара из ящика, а событие (что может произойти или не произойти)- изъятие шара определённого цвета.

Выстрел из орудия по цели (испытание— произведение выстрела; событие — попадание в цель);

при проверке билетов в автобусе оказалось, что пассажир М едет «зайцем» (испытание-проверка билетов, событие - наличие «зайцев»)

Основная задача нашего урока состоит в том, чтобы дать определения видов случайных событий и попробовать применить их при решении задач.

Перед вами таблица в левой колонке даны понятия, которые мы должны определить в ходе нашего урока. Работая в парах, попробуйте записать свои определения (опираясь на знания полученные в основной школе или на личный опыт, или на возникающие у вас ассоциации)

Работая в парах, заполняем 1 и 2 столбики, по ходу урока заполняем столбики 3 и 4

понятие	Своё определение	пример	Строгое определение	пример
Достоверное событие
Невозможное событие
Равновозможные события
Элементарное событие
Совместные события
Несовместные события

 

обсуждаем примеры записей, примеры событий

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в результате данного испытания

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания

Как вы считаете какие события происходят в жизни чаще? Достоверные, невозможные, случайные?

Что нужно сделать чтобы доказать, что событие является случайным?

(надо привести пример такого исхода когда событие происходит, и пример такого исхода когда событие не происходит)

Задание 2

Укажите какие из следующих событий невозможные, какие достоверные, какие случайные:

А: футбольный матч «Спартак»- «Зенит» закончится вничью;

В: вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

С: в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце;

D: 30 февраля будет дождь;

Е: Вас изберут президентом США;

F:Вас изберут президентом России

 

Задание 3

В коробке лежат 3 красных, 3 жёлтых, 3 зелёных шара.

Вытаскиваем наугад N шаров. Рассмотрим событие А: среди вынутых шаров окажутся шары ровно трёх цветов.Для каждого N от 1 до 9 определите, какое это событие невозможное, достоверное или случайное и заполните таблицу

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9
событие А

 

Вытаскиваем наугад 4 шара Рассмотрим событие В: среди вынутых шаров окажутся шары ровно М цветов.Для каждого М от 1 до 4 определите, какое это событие невозможное, достоверное или случайное и заполните таблицу

М	1	2	3	4
событие В

 

Равновозможные события примеры записей, примеры событий

Задание 4

Проводятся следующие испытания:

Бросают монету

Вытаскивают карту из колоды 36 карт и смотрят её масть

Вытаскивают шар из ящика в котором лежат 8 белых и 2 красных шара

Сколько событий может произойти в результате каждого испытания?

Как вы считаете в результате каких испытаний мы получим события, которые можно назвать равновозможными? В каком случае в третьем испытании события будут равновозможными?

Если в одном испытании могут произойти события, шансы наступления которых одинаковы, то эти события называют равновозможными

 

Элементарные события примеры записей, примеры событий

 

Задание 5

1.Бросают кубик (игральную кость) Сформулируйте примеры событий, которые могут наступить?

А) Выпадение чисел от 1 до 6

Б) выпадение чётного числа

В) выпадение нечётного числа (можно продолжить: выпало менее 5 очков, выпало более 3х очков и т.д.)

Какие из этих событий вы бы назвали элементарными? (аналогия с физикой элементарные частицы, значит – неделимые)

События, которые нельзя разделить на более простые называются элементарными

Задание 6

Вытаскивают карту из колоды 36 карт

А) событие А: появление масти червей

Б) событие В: появление десятки червей

Какое из этих событий является элементарным? Почему?

Совместные события примеры записей, примеры событий

Несовместные события примеры записей, примеры событий

Задание 7

Бросают две игральные кости

А) событие А: сумма выпавших очков не больше 4; событие В: на одном из кубиков выпало число 3

Б) событие А: сумма выпавших очков не больше 4; событие В: на одном из кубиков выпало число 5

В каком случае события А и В совместимы? Почему?

 

События называются совместными (совместимыми), если наступление одного из них в ходе одного испытания не исключает наступления других

 

События называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них в ходе одного испытания исключает наступления других

 

Самостоятельная работа

1 вариант

Установите каким событием (случайным, достоверным или невозможным) является событие:

В результате одного броска игральной кости появилось число 10;

Наугад вынутая из колоды карта оказалась восьмёркой треф;

Наугад названное натуральное число оказалось целым числом.

Перечислить все элементарные исходы испытания и установить являются ли они равновозможными, если испытание состоит в следующем:

Из всех карт бубновой масти, взятых из одной полной колоды (36 листов), извлекается одна карта и определяется её название;

Из ящика, в котором находятся 3 зелёных и 2 красных шара, извлекается один шар и определяется его цвет

Установить являются совместными или несовместными события А и В, если:

А: выпадение 3 очков, В: -выпадение нечётного числа очков в результате одного бросания игральной кости;

А: появление валета, В: появление карты червовой масти в результате одного изъятия одной карты из полной колоды;

Деревянный цилиндр бросают на пол и определяют фигуру, которой цилиндр касается пола: событие А: касается только отрезком, событие В: касается кругом

2 вариант

Установите каким событием (случайным, достоверным или невозможным) является событие:

Наугад названное рациональное число оказалось натуральным числом;

Наугад вынутый из коробки с цветными карандашами один карандаш оказался простым;

Взятая из полного набора домино костяшка оказалась «пусто— шесть».

Перечислить все элементарные исходы испытания и установить являются ли они равновозможными, если испытание состоит в следующем:

Из коробки, в которой находятся 4 чёрных и 2 красных шара, извлекается один шар и определяется его цвет;

Из всех карт трефовой масти, взятых из одной полной колоды (36 листов), извлекается одна карта и определяется её название;

Установить являются совместными или несовместными события В и С, если:

В: появление карты с картинкой, С: появление карты червовой масти в результате одного изъятия одной карты из полной колоды;

В: выпадение 4 очков, С: -выпадение числа очков не меньшего 4,в результате одного бросания игральной кости;

В: -выпадение кнопки плашмя, С- падение кнопки на острие в результате одного бросания кнопки