1. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 черных квадратов, причем одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты - не равны?                                                  

(Н.И.Авилов)

2. Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ... , 40 г. Из них выбрали 10 гирь четной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечетной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью масс в 20 г.

(В.В.Произволов)

3. На столе лежит картонный круг радиуса 5 см. Петя, пока возможно, прикладывает к кругу снаружи картонные квадраты со стороной 5 см так, чтобы выполнялись условия:

1) у каждого квадрата одна вершина лежит на границе круга;

2) квадраты не перекрываются;

3) каждый следующий квадрат касается предыдущего вершиной к вершине.

Определите, сколько квадратов может выложить Петя, и докажите, что последний и первый квадрат тоже коснутся вершинами.

(А.В.Шаповалов)

4. Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введен хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее чем за 7 попыток?

(Д.В.Баранов)

5. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

(А.Ю.Эвнин)

6. Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введен хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее чем за 7 попыток?

(Д.В.Баранов)

7. В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная ABCDEF, противоположные звенья которой параллельны (AB || DE, BC || EF и CD || FA). При этом AB не равно DE. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.

(В.В.Произволов)

8. Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 100^{100}?

(М.В.Мурашкин)

9. На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади S. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отраженных точках также имеет площадь S.

(П.А.Кожевников)

10. В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше десяти платных дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать десяти компаниям так,         чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.

(И.В.Нетай, Д.В.Баранов)

 

Примечание:

a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 100^{100}? означает: сумма кубов чисел a, b, c, d равна 100 в сотой степени.

 

11. В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

(М.Мурашкин, А.Шаповалов)

12. Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нем точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении).

Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдает меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?

(М.Мурашкин)

13. Нарисован угол, и еще имеется только циркуль.

а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?

б) Как определить, равен ли данный угол 31? (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?

(Г.Фельдман, Д.Баранов)

14. Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из четного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями.              

(Фольклор)

15. На доске записано 101 число: 1^2, 2^2, :, 101^2. За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности. Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?                                      

(М.Малкин)

16. Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

(М.Мурашкин, А.Шаповалов)

17. Про функцию f(x) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком y = f(x) столько же общих точек, сколько с параболой y = x^2. Докажите, что f(x) тождественно равна x^2.

(А.Шаповалов)

18. Можно ли поверхность октаэдра оклеить несколькими правильными 6-угольниками без наложений и пробелов?

(Н.Авилов)

19. Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P(x) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P(2) и P(P(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

(С.Маркелов)

20. На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45? вокруг любого из ее концов. Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом ее концы поменялись местами?

(А.Грибалко)

21. Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число a, отличное от 1, и разрезать этот кусок в отношении 1:a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?

(А.Шаповалов)

22. В треугольнике ABC точка M - середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO=BP. Найдите отношение OM:PC.

(М. Волчкевич)

23. На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или -1, причем не все числа одинаковые. Возьмем все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.

а) Какая наименьшая сумма может получиться?

б) А какая наибольшая?

(А.Толпыго)

24. Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр куба числа n равняться 1000000?

(А.Канель-Белов)

25. а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой

богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

б) А если богатырей десять?

(А.Клячко, Е.Френкель)

26. На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой).

Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

(А.Толпыго)

27. На некоторых клетках доски 10x10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причем каждая - в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырех направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?

(М.Мурашкин)

28. Можно ли все прямые на плоскости разбить на пары перпендикулярных прямых так, чтобы каждая прямая входила ровно в одну пару?

(А.Шаповалов)

29. а) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать иррациональное a>0 и разрезать этот кусок в отношении 1:a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?

б) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное a, отличное от 1.

(А.Шаповалов)

30. Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010?

(Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)

(С.Маркелов)

31. На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждение фильма, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.)

(И.Митрофанов)

32. Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

(А.Клячко, Е.Френкель)

33. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N - середины сторон AB и CD. Известно, что IM/AB=IN/CD. Докажите, что ABCD - трапеция или параллелограмм.

(Н.Белухов, А.Заславский)

 

34. Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345+6+789=13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.

(А.Толпыго)

35. Каждая грань параллелепипедной коробки с ребрами 3, 4, 5 разделена на единичные квадратики. Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем коробку, равнялась 120?

36. В семиугольнике A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 диагонали А_1 А_3, А_2 А_4, А_3 А_5, A_4 A_6, A_5 A_7, A_6 A_1 и A_7 A_2 равны между собой. Диагонали А_1 А_4, А_2 А_5, А_3 А_6, A_4 A_7, A_5 A_1, A_6 A_2 и A_7 A_3 тоже равны между собой. Обязательно ли этот семиугольник равносторонний?

37. У каждого целого числа от n+1 до 2n включительно (где n - натуральное) возьмем наибольший нечетный делитель и сложим все эти делители. Докажите, что получится n^2.

38. N точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, попарно соединили отрезками (каждую с каждой). Часть отрезков покрасили красным, остальные - синим. Красные отрезки образовали замкнутую несамопересекающуюся ломаную, и синие отрезки - тоже. Найдите все N, при которых это могло получиться.

39. На полоске 1*N на 25 левых полях стоят 25 шашек. Шашка может ходить на соседнюю справа свободную клетку или перепрыгнуть через соседнюю справа шашку на следующую за ней клетку (если эта клетка свободна), движение влево не разрешается. При каком наименьшем N все шашки можно переставить подряд без пробелов в обратном порядке?

40. У каждого целого числа от n+1 до 2n включительно (где n - натуральное) возьмем наибольший нечетный делитель и сложим все эти делители. Докажите, что получится n^2.

41. Какое наименьшее количество квадратиков 1*1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25*25, разделенного на 625 квадратиков 1*1?

42. У продавца и покупателя в сумме 1999 рублей монетами и купюрами в 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, причем денег у покупателя достаточно. Докажите, что покупатель сможет купить кота, получив причитающуюся сдачу.

43. На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены прямоугольные треугольники (во внешнюю сторону). Пусть A, B, C, D - вершины прямых углов, а O_1, O_2, O_3, O_4 - центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что

а) площадь четырехугольника ABCD не превосходит 2;

б) площадь четырехугольника O_1 O_2 O_3 O_4 не превосходит 1.

44. Бумажный тетраэдр разрезали по ребрам так, что получилась плоская развертка. Могло ли случиться, что эту развертку нельзя расположить на плоскости без наложений (в один слой)?

45. Сто целых положительных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, чтобы любые два из этих чисел были взаимно простыми?

46. Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно женить всех брюнетов так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке!". Вторая сваха говорит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!". Этот диалог услышал любитель математики, который сказал: "В таком случае можно сделать и то, и другое!".

Прав ли он?

47. Найдите все целые положительные числа k, для которых найдутся такие целые положительные числа m и n, что m(m+k)=n(n+1).

48. Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15*15 так, чтобы слон, поставленный на любую клетку доски, бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьет по двум диагоналям, на пересечении ко торых он стоит; слон, поставленный на отмеченную клетку, бьет эту клетку.)

49. Дан квадрат ABCD, внутри которого лежит точка O. Докажите, что сумма углов OAB, OBC, OCD и ODA отличается от 180 градусов не больше, чем на 45 градусов.        

50. Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между точками, с точки зрения муравья, является длина кратчайшего пути между этими точками, проходящего по поверхности параллелепипеда).