1. В множестве {1,2,3,…,2014} выбрали подмножество A. Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат A, не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в A?

Г. Жуков

2. Дан треугольник ABC. Луч, проведенный из вершины B через середину AC, пересекает внешнюю биссектрису угла A в точке P. Прямая PC пересекает прямую, содержащую внутреннюю биссектрису угла A, в точке Q. Докажите, что BA = BQ.

  Ф. Ивлев

3. Профессор Выбегалло написал 1001 статью. В каждой статье он может поставить ссылки на другие статьи, но никакие две статьи не должны ссылаться друг на друга. Выбегалло получит значимость k, если после этого у него будет k статей, на каждую из которых ссылаются хотя бы k статей. Какой наибольшей значимости он может добиться?

  И. Богданов, Е. Молчанов

4. В равногранном тетраэдре ABCD точки A′, B′, C′, D′ - центры вневписанных сфер. Докажите, что A, B, C, D - центры вневписанных сфер тетраэдра A′B′C′D′. (Тетраэдр называется равногранным, если его грани - равные треугольники. Вневписанная сфера - это сфера, которая касается одной из граней и продолжений остальных граней.)

  А. Заславский

5. В белом клетчатом прямоугольнике, стороны которого больше 10, в черный цвет покрасили K клеток. Далее за ход выбирают ряд (горизонтальный или вертикальный), в котором черных клеток хотя бы 10, и красят в черный цвет все белые клетки этого ряда. После нескольких таких ходов все клетки стали черными. Докажите, что K ≥ 100.

  П. Кожевников

6. Докажите, что не существует многочлена от двух переменных P(x,y), для которого множеством решений неравенства P(x,y) > 0 является квадрант {(x,y) : x > 0, y > 0}.

  Л. Стунжас

7. На координатной плоскости нарисованы графики нескольких многочленов. Всегда ли можно дорисовать график ещё какого-нибудь многочлена так, чтобы он не пересекался с уже нарисованными?

8. В квадратной таблице 10×10 записано сто положительных чисел. Сумма чисел в каждой строке равна 100. Коле разрешается переставить числа внутри каждой из строк (но не между строками). После этого в каждом столбце найдут максимальное число и сложат найденные числа. Докажите, что Коля может добиться того, чтобы полученная сумма была меньше 300.

9. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон BC, CA и AB в точках X, Y и Z соответственно. На плоскости отметили точку K. Серединные перпендикуляры к отрезкам KX, KY и KZ пересекают прямые BC, CA и AB в точках X₁, Y₁ и Z₁ соответственно. Докажите, что точки X₁, Y₁ и Z₁ лежат на одной прямой.

10. Конечно или бесконечно множество натуральных чисел, у которых как в десятичной записи, так и в семеричной записи нет нуля?

11. У Клары есть комплект всевозможных бус из 4n бусинок, где каждая бусинка либо чёрная, либо белая. Карл испортил один экземпляр, переставив в нем бусинки. Клара хочет перекрасить как можно меньше бусинок в испорченном экземпляре, чтобы снова получились прежние бусы. Какое наибольшее число бусинок ей может понадобиться перекрасить? (Бусы, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются одинаковыми.)

12. Даны 1 000 000 окружностей, проходящих через одну точку. Докажите, что их можно разбить на 12 групп так, что среди окружностей одной группы ни одна не будет проходить через центр другой.

13. Дано натуральное число, большее 4. За ход разрешается представить его в виде суммы нескольких неединичных натуральных слагаемых и заменить на их произведение. Докажите, что не более чем за 4 хода можно получить факториал какого-нибудь натурального числа.

И. И. Богданов

14. В цилиндрический колодец падает пучок параллельных лучей, причём ни одна точка дна не освещена. Докажите, что граница освещённой и неосвещённой областей колодца лежит в одной плоскости.

А. С. Бердников

15. В стране Флатландии двое близоруких полицейских ловят преступника. Все люди являются кругами диаметра 1 м на плоскости. Максимальная скорость полицейского равна 1 м/с, а преступник умеет двигаться со сколь угодно большой скоростью. Полицейский не видит преступника, пока не коснётся его, а как только касается — сразу ловит. Преступник всё видит. Дело происходит в круге диаметра D м, за который никто не может выйти. При каком наибольшем D полицейские могут действовать так, чтобы гарантированно поймать преступника?

В. Б. Мокин

16. В ряд стоят 100 коробок. В самой левой лежат 100 спичек, остальные пусты. За ход разрешается выбрать любые две соседние коробки и переложить одну спичку из левой коробки в правую, если после перекладывания в левой коробке будет не меньше спичек, чем в правой. Ходы делаются пока возможно. Докажите, что конечный результат не зависит от последовательности ходов.

А. Шень

17. Вписанная окружность касается сторон BC, CA, AB треугольника ABC в точках A₁, B₁, C₁. Вневписанная окружность касается стороны BC и продолжений сторон CA, AB в точках A₂, B₂, C₂. Через середины отрезков A₁B₁, A₂B₂ провели прямую l₁, а через середины отрезков A₁C₁, A₂С₂ провели прямую l₂. Докажите, что l₁ и l₂ пересекаются на высоте AH треугольника ABC.

А. А. Полянский

18. Даны квадратные трехчлены f(x), h(x) с единичными старшими коэффициентами и некоторый многочлен g(x) ненулевой степени. Известно, что f(g(h(x))) = h(g(f(x))) для всех x. Докажите, что если графики f(x) и h(x) имеют общую точку, то они совпадают.

Г. К. Жуков

 

19. В ряд выложено n монет. Два игрока по очереди выбирают монету и пе­рево­рачи­ва­ют её. Рас­по­ложе­ние орлов и решек не должно пов­то­рять­ся. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?

Б. Р. Френкин

20. На доске написаны 49 на­тураль­ных чисел. Все их попарные суммы различны. Докажите, что наибольшее из чисел больше 600.

Б. Р. Френкин

21. Даны три попарно пе­ресе­ка­ющих­ся луча. В некий момент времени по каждому лучу из его начала начинает двигаться точка с постоянной скоростью. Известно, что эти три точки в любой момент времени образуют тре­уголь­ник, причем центр описанной окружности этого тре­уголь­ни­ка тоже движется равномерно и пря­моли­ней­но. Верно ли, что все эти тре­уголь­ни­ки подобны друг другу?

Ф. К. Нилов

22. Подм­но­жест­во сту­ден­ческой группы назовём идеальной компанией, если
1) в этом подм­но­жест­ве все девушки нравятся всем юношам;
2) в это подм­но­жест­во нельзя никого добавить, не нарушив условие 1. В некой группе учатся 9 студенток и 15 студентов. Староста группы составил список все­воз­можных идеальных компаний в этой группе. Какое наибольшее число компаний могло оказаться в этом списке?

А. А. Клячко, Б. Ф. Мельников

23. Найдите все такие пары на­тураль­ных чисел a и b, что a¹⁰⁰⁰+1 делится на b⁶¹⁹ и b¹⁰⁰⁰+1 делится на a⁶¹⁹.

М. В. Мурашкин

24. На плоскости расположен центрально-сим­метрич­ный выпуклый мно­го­уголь­ник площади 1 и две его копии (каждая получена из мно­го­уголь­ни­ка некоторым па­рал­лель­ным переносом). Известно, что никакая точка плоскости не покрыта тремя мно­го­уголь­ни­ками сразу. Докажите, что общая площадь, покрытая мно­го­уголь­ни­ками, не меньше 2.

И. И. Богданов

 

25. Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно женить всех брюнетов так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке!". Вторая сваха говорит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!". Этот диалог услышал любитель математики, который сказал:

"В таком случае можно сделать и то, и другое!".

Прав ли он?

 

26. Докажите, что любое целое положительное число можно представить в виде

           3^{u_1}*2^{v_1}+3^{u_2}*2^{v_2}+ ...

           +3^{u_k}*2^{v_k}, где u_1 > u_2 > ... > u_k >= 0 и

           0 <= v_1 < v_2 < ... < v_k - целые числа.

 

27. Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между точками, с точки зрения муравья, является длина кратчайшего пути между этими точками, проходящего по поверхности параллелепипеда.)

 

28. Дан треугольник ABC. В нем H - точка пересечения высот, I - центр вписанной окружности, O - центр описанной окружности, K - точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки IO и BC параллельны. Докажите, что отрезки AO и HK

параллельны.

 

29. Играют двое. У первого 1000 четных карточек (2, 4, ... , 2000), у второго 1001 нечетных (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход соcтоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на нее, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (и одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?

 

30. У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей двух оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины   ребер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причем эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

 

31. а) В таблице m*n расставлены знаки "+" и "-". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2*2, который тоже не приводится.

б) В таблице m*n расставлены знаки "+" и "-". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4*4, который тоже не приводится.

 

32. График квадратного трёхчлена с целыми коэффициентами пересекает ось абсцисс в точках X, Z, а ось ординат в точке Y (все три точки различны). Найдите наибольшее возможное значение угла XYZ.

Б. Френкин

33. Треугольники ABC и ADE таковы, что E лежит на луче AB, а D лежит на луче AC. Оказалось, что биссектрисы BX и DY этих треугольников перпендикулярны. Докажите, что XY параллельно EC.

В. Мокин

34. Изначально в бизнес-центре базировались 2ⁿ фирм, каждая занимала некоторую площадь, все площади были различны. Каждый год фирмы объединялись в пары, и в каждой паре фирма с меньшей площадью присоединялась к фирме с большей. При этом ни в какой момент времени не было двух фирм с одинаковой площадью. Через n лет осталась одна фирма. Какое наименьшее место по площади (считая от меньшей к большей) эта фирма могла занимать вначале?

Б. Френкин

35. Дано натуральное число a. Докажите, что любое натуральное число n можно домножить на какое-то натуральное число, меньшее 10a, так, чтобы десятичная запись произведения начиналась на a.

Е. Бакаев

36. В кубическую коробку поместили 3 одинаковых шара. Докажите, что в точно такую же пустую коробку можно поместить 4 таких же шара.

М. Евдокимов

37. Два дворца спорта набрали школьников в секции. В каждой секции первого дворца не меньше, чем по n детей, а в каждой секции второго - не меньше, чем по k детей. Оказалось, что каждый школьник посещает столько же секций в первом дворце, сколько и во втором. Кроме того, в любых двух секциях из разных дворцов есть не более одного общего школьника. Докажите, что в первый дворец попало не меньше nk детей.

Н. Верещагин, А. Ромащенко

 

38. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 черных квадратов, причем одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты - не равны?

(Н.И.Авилов)

 

39. Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ... , 40 г. Из них выбрали 10 гирь четной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечетной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью

масс в 20 г.

(В.В.Произволов)

 

40. На столе лежит картонный круг радиуса 5 см. Петя, пока возможно, прикладывает к кругу снаружи картонные квадраты со стороной 5 см так, чтобы выполнялись условия:

         1) у каждого квадрата одна вершина лежит на границе круга;

         2) квадраты не перекрываются;

         3) каждый следующий квадрат касается предыдущего вершиной к вершине.

Определите, сколько квадратов может выложить Петя, и докажите, что последний и первый квадрат тоже коснутся вершинами.

                                                 (А.В.Шаповалов)

 

41. Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введен хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее чем за 7 попыток?

                                                  (Д.В.Баранов)

 

42. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

                                                     (А.Ю.Эвнин)

 

43. Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введен хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее чем за 7 попыток?

(Д.В.Баранов)

 

44. В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная ABCDEF, противоположные звенья которой параллельны (AB || DE, BC || EF и CD || FA). При этом AB не равно DE. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.

(В.В.Произволов)

 

45. Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что 4     a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 100^{100}?

(М.В.Мурашкин)

 

46. На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади S. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отраженных точках также имеет площадь S.

(П.А.Кожевников)

 

47. В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше десяти платных дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать десяти компаниям так, чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.

(И.В.Нетай, Д.В.Баранов)

 

Примечание: a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 100^{100}? означает: сумма кубов чисел a, b, c, d равна 100 в сотой степени.

 

 

48. В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

(М.Мурашкин, А.Шаповалов)

 

49. Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нем точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении).

Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдает меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?

(М.Мурашкин)

                                                      

50. Нарисован угол, и еще имеется только циркуль.

а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?

б) Как определить, равен ли данный угол 31? (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?

(Г.Фельдман, Д.Баранов)

 

51. Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из четного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями.              

(Фольклор)

 

52. На доске записано 101 число: 1^2, 2^2, :, 101^2. За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности. Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?                                      

(М.Малкин)

 

 

53. Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

(М.Мурашкин, А.Шаповалов)

 

54. Про функцию f(x) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком y = f(x) столько же общих точек, сколько с параболой y = x^2. Докажите, что f(x) тождественно равна x^2.

(А.Шаповалов)

 

55. Можно ли поверхность октаэдра оклеить несколькими правильными 6-угольника-ми без наложений и пробелов?

(Н.Авилов)

 

56. Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P(x) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P(2) и P(P(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

(С.Маркелов)

 

57. На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45? вокруг любого из ее концов. Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом ее концы поменялись местами?

(А.Грибалко)

 

58. Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число a, отличное от 1, и разрезать этот кусок в отношении 1:a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?

(А.Шаповалов)

 

59. В треугольнике ABC точка M - середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO=BP. Найдите отношение OM:PC.

(М. Волчкевич)

 

60. На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или -1, причем не все числа одинаковые. Возьмем все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.

а) Какая наименьшая сумма может получиться?

б) А какая наибольшая?

(А.Толпыго)

 

61. Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр куба числа n равняться 1000000?

(А.Канель-Белов)

 

62. а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

б) А если богатырей десять?

(А.Клячко, Е.Френкель)

 

63. На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

(А.Толпыго)

 

64. На некоторых клетках доски 10x10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причем каждая - в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырех направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?

(М.Мурашкин)

 

65. Можно ли все прямые на плоскости разбить на пары перпендикулярных прямых так, чтобы каждая прямая входила ровно в одну пару?

(А.Шаповалов)

 

66. а) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать иррациональное a>0 и разрезать этот кусок в отношении 1:a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?

б) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное a, отличное от 1.

                                                              (А.Шаповалов)

 

67. Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010?

(Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)

                                                               (С.Маркелов)

 

68. На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждение фильма, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.)

                                                            (И.Митрофанов)

 

69. Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

                                                     (А.Клячко, Е.Френкель)

 

70. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N - середины сторон AB и CD. Известно, что IM/AB=IN/CD. Докажите, что ABCD - трапеция или параллелограмм.

                                                 (Н.Белухов, А.Заславский)

 

71. Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345+6+789=13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.

                                                               (А.Толпыго)